基本概率论其实也挺简单，而且相当实用，比如我花了两块钱买了个双色球，想知道有多少可能性能中500W，你会说很低很低吧，基本不可能吧，但概率会告诉你具体低到多少！
已知的中奖规则如下：
| 一等奖 | 六红一蓝 | 500万 |
| 二等奖 | 六红 | 100万 |
| 三等奖 | 五红一蓝 | 3000 |
| 四等奖 | 五红 OR 四红一蓝 | 200 |
| 五等奖 | 四红 OR 三红一蓝 | 10 |
| 六等奖 | 有蓝就行 | 5 |
组合数
先来看下基本概率公式，从N个样本中选出n个 (n<N)，可以选出的组合数：记做$C_n^N$
组合数： $C_n^N = \begin{pmatrix} N \ n \end{pmatrix} = \frac{N!}{n!\left( N- n\right)!}$
另外还有一种情况，如果选出的n的样本里面有排列的话，比如A,B 和 B,A认为是两种不同的组合，那么应该使用下面的公式计算
组合数2（带顺序） $ P_n^N = n!\begin{pmatrix} N \ n \end{pmatrix} = \frac{N!}{\left( N- n\right)!}$
根据公式，从33个红球里面选6个的情况有 : $\frac{33!}{ 6! \times (33-6)!} = \frac{33 \times 32 \times 31\times 30 \times29 \times 28 \times 27!}{6\times5\times4\times3\times2\times1\times27!} = 1107568$
可得出33远6的组合数 $C_6^{33} = 1107568 $， 也就是说6个红球全部中的情况的概率是$\frac{1}{1107568 }$
我还是先把中500W的概率计算出来再往下说吧，计算的公式或定理在下面会提到
首先 6个红球全部选中的概率记做 $P(A) = \frac{1}{1107568 }$ ，另外16个蓝球里面选中对的那个球的概率记做 $P(B) = \frac{1}{16}$，虽然一看就知道，但可以自行用公式算一下。
选中红球的结果并不影响选中蓝球，所以这两个事件 可以称为 独立事件
独立事件 同时发生的概率可以用乘法运算，所以中500W的概率即为 $P(500W) =\frac{1}{1107568 } \times \frac{1}{16} = \frac{1}{17721088}$
概率计算
概率计算主要有以下这些公式，要多练习多用就熟悉了，练习时，使用纸和笔去画，会如同神助。
事件的补： $ P(A)=1 - P(A^c)$
加法: $P( A \bigcup B )=P(A) + P(B\ P(A \bigcap B)$
互斥事件：如果两个事件没有共同的样本点，则称这两个事件互斥
互斥事件时的加法公式: $P( A \bigcup B )=P(A) + P(B)$
条件概率：如果在B事件已经发生的的情况下，A发的的概率，记做 $ P ( A | B )$
比如，已经确认了6个红求都中了，记录事件B那么
中一等奖的概率即为 $P ( A_1 | B ) = \frac{1}{16}$
中二等奖的概率即为 $P ( A_2 | B ) = \frac{15}{16}$
条件概率的计算计算1:$P(A|B) = \frac{P(A \bigcap B)}{P(B)}$
条件概率的计算计算2:$P(B|A) = \frac{P(A \bigcap B)}{P(A)}$
乘法公式1: $P( A \bigcap B )=P(B) P(A | B) $
乘法公式2: $P( B \bigcap A )=P(A) P(B | A) $
刚才计算一等奖时提到了独立事件，这里再搬下概念：
如果满足 $P(A|B) = P(A)$或 $P(B|A) = P(B)$ 时，则A与B为独立事件，否则，两个事件是相关的，比如双色球里面蓝球的概率是1/16，不管红球的选中状况如何。
独立事件的乘法公式 : $P( A \bigcap B )=P(A) P(B) $
看到这里，就应该可以把三、四、五、六等奖的中奖概率全部算出来了。三等奖五红一蓝的计算也很简单，用乘法公式就能算出来,这里用A，B，C，D，E做为5个被选中的红球，用F做为未被选中的红球
$P(A \bigcap B \bigcap C \bigcap D \bigcap E \bigcap F)$
推断： $P(A) = 6/33$ , 当A发生后，少了一个球，那么$P(B|A) = 5/32$,依次类推 $P(C|(B \bigcap A)) = 4/31$
最终：$P(F) = 27/28$ (当拿走5个正确的红球后，要拿走剩余28个里面的一个错误的红球)。
所以：按照乘法公式慢慢解开可以算出概率$ \frac{6}{33} \times \frac{5}{32} \times \frac{4}{31} \times \frac{3}{30} \times \frac{2}{29} \times \frac{27}{28} = \frac{19440}{797448960} \approx 0.0000243$
小结一下一二三等奖概率，后面的也可以根据加法乘法公式自己算出来。
| 奖项 | 奖金 | 概率1 | 概率2 |
|---|---|---|---|
| 一等奖 | 500W | 一千七百多万分之一 | 0.0000000564299 |
| 二等奖 | 不到一百万 | 一千七百多万分之十五 | 0.0000008464491 |
| 三等奖 | 3000块 | 八千万分之两千 | 0.0000243777357 |
| 四等奖 | 200 | 有兴趣自己算 | 5红0蓝 或 4红1蓝 |
| 五等奖 | 10 | 有兴趣自己算 | 4红0蓝 或 3红1蓝 |
| 六等奖 | 5 | 有兴趣自己算 | 1蓝 0红、1红、2红 |
TIPS:算出来后，可以用事件的补公式 1 - P(1等奖) - P(2等奖) - P(3等奖) - P(4等奖) - P(5等奖) - P(6等奖) 就可以算出买一个彩票屁都不中的概率了，这个结果是不是很准呢，哈哈。
贝叶斯定理
从贝叶斯定理开始，统计学的的难度就会稍微增大了，但是也非常重要，主要是概率分布、假设检验，方差分析线性回归等，层层相扣，后面的会用以前面的知识为基础。贝叶斯(Bayes)定理广泛用于决策分析，主要是当已知某个事件的概率时，又发生了一个事件，可以利用条件概率，计算出后验概率。
两事件情形:
$$
P(A_1 | B ) = \frac{ P(A_1 ) P( B | A_1 ) }{ P(A_1 ) P( B | A_1 ) +P(A_2 ) P( B | A_2 ) } \\
P(A_2 | B ) = \frac{ P(A_2 ) P( B | A_2 ) }{ P(A_1 ) P( B | A_1 ) +P(A_2 ) P( B | A_2 ) } \\
$$
多种事件情形：
$$
P(A_i | B ) = \frac{ P(A_i) P( B | A_i ) }{ P(A_1 ) P( B | A_1 ) +P(A_2) P( B | A_2 ) + \cdots + P(A_n ) P( B | A_n) }
$$
举个简单的例子，比如已知访问本页面的访客的性别概率为:男：95%，女5%，又已知访问美美网的访客性别概率分别为：男：10%，女90%，如下
| 性别 | 本页面访客性别 | 美美网访客性别 |
|---|---|---|
| 男 | 0.95 | 0.10 |
| 女 | 0.05 | 0.90 |
有一个访客过来看本页面了，这个访客是女的概率应该为 5%，叫做先验概率。
又已知：刚才这个访客同时访问过美美网，那么，这个访客是女性的概率是多少呢？
简单使用一个表格法,这里把这个访客的可能性当独立事件去算一下。
| 访客性别 | 先验概率 | 条件概率 | 联合概率 | 后验概率 |
|---|---|---|---|---|
| $A_i$ | $P(A_i)$ | $P(B \mid A_i)$ | $P(A_i \bigcap B)$ | $P(A_i \mid B)$ |
| 男 | 0.95 | 0.10 | 0.095 | 0.095/(0.095+0.045) = 0.678 |
| 女 | 0.05 | 0.90 | 0.045 | 0.045/(0.095+0.045) = 0.322 |
这里算出的后验概率，即是对先验概率的一个补正，如果一个访客访问了本页面，男女概率比为：0.95:0.05，但如果记录到这个访客同时访问了美美网，那么男女概率就变成0.678:0.322了。当然，如果说访问本站的访客同时又访问了一个男性网站，那么主男性的概率就更大了。
数学期望实际上就是平均数了，我们又有了一种新的算法求平均数了，以前前是觉得求平均数会超过int ,long ,double等类型的最大范围，现在好了，用数学期望算法，一切OK,另外有的时候我们可能不知道每个样本的具体数量，但知道它们的占比，一样可以求出平均数出来。
$E(x) = \mu = \sum{x f(x)}$
利用数据期望公式，算出平均买一注双色球，可回收的钱为(这里忽略4、5、6等奖，算出的结果也是不准的，可以自已把456算好了加上去)
$5000000 \times 0.0000000564299 + 1000000 \times 0.0000008464491 + 3000 \times 0.0000243777357 \approx 1.1858188391141673 $ （PS：自己算了一下，发现主要开支在1、2、6等奖，加起来可以回馈出1.4块，剩余3、4、5等奖基本上只有0.1块，1到6等奖基本上可以回馈1块5，可见双色求还不算特别黑，我之前没算的时候还以为福利彩票公司能赚3/4只拿1/4用来发奖呢，总体中奖上平均数是 1块5，（票面两块），是否觉得不真实，如果你中的是一，二等奖，就会觉得真实了。）
下面开始来说这个不真实性：方差，之前在统计基础里面说过方差了，计算路线如:方差-》标准差-》偏度、协方差-》相关系数-》加权平均，虽然然计算了这么多，但一般情况下，方差越大，说明范围越广。偏度计算出来后，基本可以解释这种情况了，我这里不算也知道，彩票的偏度严重接近于-1，则为严重左偏，90%以上的样本都在1.5块左边（0元，没中奖）。
方差的概率公式重新定义一下：$Var(x) = \sigma^2 = \sum{(x - \mu )^2 f(x)}$